Quiz svolti Geometria (Liceo Scientifico)
In questa pagina, si riportano 10 esercizi svolti relativi ad alcuni tra i quesiti più complessi presenti, negli ultimi anni, nelle banche dati di Geometria (Liceo Scientifico) - Prova Cultura Generale - concorsi Scuole Militari di Esercito, Marina ed Aeronautica; laddove possibile, vengono illustrati metodi veloci per giungere più rapidamente alla risposta corretta.
Traccia: I lati di due quadrati hanno per somma 12 centimetri e il rettangolo delle loro diagonali ha l'area di 70 cm2. Trovare i lati dei due quadrati. [risposte: a) 11 cm, 3 cm; b) 12 cm, 2 cm; c) 5 cm, 7 cm; d) 4 cm, 7 cm]
Risoluzione: si indicano con "l1" e "l2" i lati dei due quadrati.
Le due relazioni seguenti "traducono" matematicamente i dati forniti dal quesito:
1) l1 + l2 = 12 cm
2) l1·√2 · l2·√2 = 70 cm2
⇓
1) l1 + l2 = 12 cm
2) 2·l1·l2 = 70 cm2
⇓
1) l1 + l2 = 12 cm
2) l1·l2 = 35 cm2
Senza risolvere il sistema, è abbastanza semplice giungere alla risposta corretta; infatti le misure dei due lati che, sommate tra loro, danno 12 cm e, per prodotto, danno 35 cm2 non possono che essere 5 cm e 7 cm.
Traccia: In un triangolo rettangolo, aggiungendo e togliendo 1 cm al doppio del cateto minore si ottengono rispettivamente l'ipotenusa e l'altro cateto. Qual è la superficie del triangolo? [risposte: a) 60 cm2; b) 80 cm2; c) 75 cm2; d) 48 cm2]
Risoluzione: si indicano con "a", "b" e "c" rispettivamente cateto minore, cateto maggiore e ipotenusa del triangolo rettangolo.
Il quesito può essere risolto ponendo a sistema le due relazioni seguenti che "traducono" matematicamente i dati forniti:
1) 2a + 1 = c
2) 2a - 1 = b
Ma, tramite il teorema di Pitagora, è possibile esprimere "c" nella relazione 1) in funzione di "a" e "b":
1) 2a + 1 = √(a2 + b2)
2) 2a - 1 = b
2a + 1 = √[a2 + (2a - 1)2]
⇓
(2a + 1)2 = a2 + (2a - 1)2
⇓
4a2 + 4a + 1 = a2 + 4a2 - 4a + 1
⇓
a2 - 8a = 0
⇓
a = 0 cm (non accettabile) ∨ a = 8 cm
Sostituendo tale valore nella relazione 2), si ricava la lunghezza del cateto maggiore:
b = (2·8 - 1) cm = 15 cm
Traccia: Un trapezio isoscele ha la diagonale di 50 centimetri, l'altezza di 30 centimetri e la base maggiore di 56 centimetri. Trovare il perimetro del trapezio. [risposte: a) 120 cm; b) 130 cm; c) 148 cm; d) 150 cm]
Risoluzione: con riferimento alla figura sottostante, i dati forniti dal quesito sono i seguenti: AD = 50 cm; AH = 30 cm; BD = 56 cm.
Dal teorema di Pitagora, si può calcolare la lunghezza del segmento HD:
HD = √(AD2 - AH2)
⇓
HD = √[(502 - 302) cm2]
⇓
HD = √(1.600 cm2)
⇓
HD = 40 cm
Successivamente, si può ricavare la semidifferenza delle due basi BH:
BH = BD - HD
⇓
BH = (56 - 40) cm
⇓
BH = 16 cm
La lunghezza della base minore AC è data, invece, dalla seguente differenza:
AC = BD - 2·BH
⇓
AC = (56 - 2·16) cm
⇓
AC = 24 cm
Sempre utilizzando il teorema di Pitagora, si può calcolare la lunghezza del lato obliquo AB:
AB = √(BH2 + AH2)
⇓
AB = √[(302 + 162) cm2]
⇓
AB = √(1156 cm2)
⇓
AB = 34 cm
2p = AC + BD + 2·AB
⇓
2p = (24 + 56 + 2·34) cm
⇓
2p = 148 cm
Traccia: Un'aiuola circolare ha un diametro di 1,2 m e vicino c'è un'altra aiuola circolare la cui area è 4 volte l'area della prima aiuola. Qual è il diametro di questa seconda aiuola? [risposte: a) 3,6 m; b) 2,4 m; c) 6,4 m; d) 4,8 m]
Risoluzione: essendo noto il diametro "d1" della prima aiuola, si può calcolare la sua area:
A1 = π·(d12 / 4)
⇓
A1 = 3,14·[(1,2 m)2 / 4]
⇓
A1 = 1,13 m2
L'area della seconda aiuola è 4 volte l'area della prima aiuola:
A2 = 4·A1
⇓
A2 = 4·(1,13 m2)
⇓
A2 = 4,52 m2
Infine, si ricava il diametro "d2" della seconda aiuola:
A2 = π·(d22 / 4)
⇓
4,52 m2 = 3,14·(d22 / 4)
⇓
d2 = √(5,76 m2)
⇓
d2 = 2,4 m
Traccia: L'altezza di un triangolo equilatero misura √3a. Quanto misura l'area? [risposte: a) √3a2; b) 3a2; c) 6a2; d) a2]
Risoluzione: la formula che lega l'altezza di un triangolo equilatero "h" al suo lato "l" è la seguente:
h = (√3/2)·l
Da tale formula, si può ricavare il lato del triangolo equilatero:
√3a = (√3/2)·l
⇓
l = 2a
Infine, si può calcolare l'area "A" del triangolo equilatero:
A = (l·h) / 2
⇓
A = (2a·√3a) / 2
⇓
A = √3a2
Traccia: Le due diagonali di un rombo misurano 140 m e 48 m. Quanto misura l'area di un altro rombo simile al primo e che ha il perimetro di 37 m? [risposte: a) 37 m2; b) 420 m2; c) non è possibile calcolarla; d) 52,50 m2]
Risoluzione: il rapporto di similitudine è uguale al rapporto dei lati dei due rombi.
Essendo note la diagonale minore "d" e la diagonale maggiore "D" del primo rombo, si può calcolare il suo lato "l1" tramite il teorema di Pitagora:
l1 = √[(d/2)2 + (D/2)2]
⇓
l1 = √[(48/2)2 + (140/2)2]
⇓
l1 = √[(576 + 4.900) m2]
⇓
l1 = √(5476 m2)
⇓
l1 = 74 m
Inoltre, conoscendo il perimetro del secondo rombo, si può ricavare il suo lato "l2":
l2 = 2p2 / 4
⇓
l2 = (37 m) / 4
⇓
l2 = 9,25 m
Pertanto, il rapporto di similitudine "r" vale:
r = l1 / l2
⇓
r = (74 m) / (9,25 m)
⇓
r = 8
L'area del primo rombo "A1" è:
A1 = (d·D) / 2
⇓
A1 = [(48 m) · (140 m)] / 2
⇓
A1 = 3.360 m2
Dato che il rapporto delle aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine, si ha:
A1 / A2 = r2
⇓
(3.360 m2) / A2 = 82
⇓
A2 = (3.360 m2) / 64
⇓
A2 = 52,50 m2
Traccia: Una retta forma col semiasse positivo delle x un angolo di 45° e incontra l'asse y nel punto di coordinate (0, -3). L'equazione della retta è: [risposte: a) y = x - 3; b) y = - x + 3; c) y = - x - 3; d) y = x + 3]
Risoluzione: in geometria analitica, l'equazione di una retta in forma esplicita è la seguente:
y = m·x + q
dove "m" e "q" sono, rispettivamente, il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine della retta.
Poichè la retta forma col semiasse positivo delle x un angolo di 45°, si può calcolare il coefficiente angolare:
m = tgα
⇓
m = tg(45°) = 1
Inoltre, il punto di coordinate (0, -3) appartiene alla retta; pertanto, sostituendo le sue coordinate nell'equazione della retta, si ricava l'ordinata all'origine:
⇓
⇓
q = -3
Quiz n. 8
Traccia: In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa la divide in due segmenti lunghi 5,4 m e 9,6 m. Qual è la misura dell'altezza e del perimetro del triangolo? [risposte: a) 6,8 m; 35,4 m; b) 5,9 m; 37,8 m; c) 6,3 m; 41 m; d) 7,2 m; 36 m]
Risoluzione: l'ipotenusa viene divisa dall'altezza in due segmenti (di lunghezza 5,4 m e 9,6 m) che costituiscono le proiezioni dei cateti del triangolo rettangolo sull'ipotenusa stessa.
Il II teorema di Euclide afferma che "in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza è equivalente al rettangolo che come dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa".
Indicando con "h" l'altezza incognita del triangolo e con "ac" e "bc" le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa "c", il II teorema di Euclide può essere espresso algebricamente tramite la seguente relazione:
⇓
h2 = (5,4 m) • (9,6 m)
⇓
h = √(51,84 m2)
⇓
h = 7,2 m
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo costituito dal cateto "a", dall'altezza "h" e dalla proiezione del cateto "a" sull'ipotenusa ("ac"), si ottiene quindi:
= √[(7,22 + 5,42) m2] =
= √(81 m2) =
= 9 m
Applicando una seconda volta il teorema di Pitagora, ma stavolta al triangolo rettangolo formato dai cateti "a" e "b" e dall'ipotenusa "c", si ottiene:
= √[(5,4 + 9,6)2 - 92] =
= √(144 m2) =
= 12 m
Si calcola, infine, il perimetro del triangolo:
⇓
2p = (9 + 12 + 15) m
⇓
2p = 36 m
La risposta corretta è, quindi, la d).
N.B.: per rispondere correttamente al quesito, sarebbe stato necessario calcolare solo l'altezza del triangolo.
Quiz n. 9
Traccia: Qual è la lunghezza del perimetro di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza, sapendo che il suo lato obliquo misura 2,8 cm? [risposte: a) 10 cm; b) 10,6 cm; c) 11,2 cm; d) 9,8 cm]
Risoluzione: un quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza se le somme delle misure dei lati opposti coincidono. Nel caso in esame la somma dei lati obliqui del trapezio isoscele deve essere uguale alla somma delle basi (minore e maggiore).
Indicando con "l" il lato obliquo, con "b" la base minore e con "B" la base maggiore, si può scrivere la seguente relazione:
⇓
2,8 + 2,8 = b + B
⇓
b + B = 5,6 cm
E' possibile, pertanto, calcolare il perimetro incognito del trapezio isoscele:
⇓
2p = (2,8 + 2,8 + 5,6) m
⇓
2p = 11,2 cm
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 10
Traccia: Qual è l'equazione della circonferenza tangente alle rette y = -2 e y = 4 e avente il centro sulla retta x - 2y = 0? [risposte: a) x2 + y2 - 2x + 6y - 3 = 0; b) x2 + y2 - 4x - 2y - 4 = 0; c) x2 + y2 + 6y - 1 = 0; d) x2 + y2 - 4x + 3y - 3 = 0]
Risoluzione: i punti di tangenza A (xA; 4) e B (xB; -2) sono gli estremi del diametro della circonferenza e, poiché le rette tangenti alla circonferenza sono parallele all'asse delle x, la distanza "d" tra A e B (diametro della circonferenza) può essere calcolata come valore assoluto della differenza delle ordinate dei due punti:
⇓
d = 6
⇓
r = d/2 = 6/2 = 3 (raggio della circonferenza)
Il centro della circonferenza C è il punto medio del segmento AB e deve avere come ordinata (yC) la media aritmetica delle ordinate dei punti A e B; si ha quindi;
⇓
yC = (-2 + 4) / 2
⇓
yC = 1
Poichè il centro C appartiene alla retta x - 2y = 0, sostituendo nell'equazione della retta il valore dell'ordinata appena calcolata, si può trovare l'ascissa xC:
⇓
xC - 2•1 = 0
⇓
xC = 2
Conoscendo le coordinate cartesiane del centro C e il raggio r della circonferenza, si può calcolare la sua equazione tramite la seguente relazione:
⇓
(x - 2)2 + (y - 1)2 = 32
⇓
x2 - 4x + 4 + y2 - 2y + 1 = 9
⇓
x2 + y2 - 4x - 2y - 4 = 0
La risposta corretta è, quindi, la b).
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