Quiz svolti Geometria (Argomenti Comuni)
In questa pagina, si riportano 10 esercizi svolti relativi ad alcuni tra i quesiti più complessi presenti, negli ultimi anni, nelle banche dati di Geometria (Argomenti Comuni) - Prova Cultura Generale - concorsi Scuole Militari di Esercito, Marina ed Aeronautica; laddove possibile, vengono illustrati metodi veloci per giungere più rapidamente alla risposta corretta.
Quiz n. 1
Traccia: Si vuole costruire un rettangolo con degli stuzzicadenti, tutti della stessa lunghezza. Quanti stuzzicadenti sono necessari se il rettangolo ha le dimensioni una il triplo dell'altra? [risposte: a) 6; b) 8; c) 10; d) 12]
Risoluzione: si indicano con "a" e "3·a" le dimensioni del rettangolo, dove "a" è la lunghezza incognita di uno stuzzicadente; pertanto, il numero di stuzzicadenti necessario per costruire il rettangolo corrisponde al suo perimetro:
2p = a + a + 3·a + 3·a
⇓
2p = 8·a
Il numero di stuzzicadenti è perciò sempre un multiplo di 8; infatti, ad esempio, si ha:
se a = 1 cm ⇒ 2p = 8·1 = 8 cm (8 stuzzicadenti)
se a = 2 cm ⇒ 2p = 8·2 = 16 cm (16 stuzzicadenti)
se a = 3 cm ⇒ 2p = 8·3 = 24 cm (24 stuzzicadenti)
ecc.
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 2
Traccia: L'area di un cerchio è 200π cm2. L'ampiezza dell'angolo corrispondente a un suo settore circolare di 20π cm2 corrisponde a: [risposte: a) 36°; b) 10°; c) 300°; d) 200°]
Risoluzione: per il cerchio intero di area 200π cm2, l'angolo al centro "α" insiste su un arco pari all'intera circonferenza e vale:
α = 360°
Dato che il settore circolare ha area 20π cm2, pari a 1/10 dell'area del cerchio intero, anche l'angolo al centro "β", che insiste sull'arco che delimita il settore circolare, è uguale alla decima parte di α:
β = 360°/10
⇓
β = 36°
La risposta corretta è, quindi, la a).
Quiz n. 3
Traccia: Un triangolo rettangolo ABC ha gli angoli acuti di 30° e 60°. Sapendo che la lunghezza dell'ipotenusa BC è 10 cm, qual è la lunghezza del cateto maggiore AC e quella del cateto minore AB? [risposte: a) 10 cm; 6 cm; b) 8 cm; 6 cm; c) 8,66 cm; 5 cm; d) 10 cm; 8,66 cm]
Risoluzione: in un triangolo, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore e, di conseguenza, ad angolo minore è opposto lato minore. Ciò significa che il cateto maggiore AC è opposto all'angolo di 60°, mentre il cateto minore è opposto all'angolo di 30°.
Il primo teorema sui triangoli rettangoli afferma che "In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo (acuto) adiacente al cateto"; pertanto, si può calcolare la lunghezza del cateto maggiore:
AC = BC·sen(60°)
⇓
AC = (10 cm)·(√3/2)
⇓
AC = 8,66 cm
In maniera analoga, si ricava la lunghezza del cateto minore:
AB = BC·sen(30°)
⇓
AB = (10 cm)·(1/2)
⇓
AB = 5 cm
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 4
Traccia: Calcolare la lunghezza della base maggiore del trapezio, sapendo che la base minore misura 7 centimetri, l'altezza misura 11 centimetri e l'area misura 104,50 centimetri quadrati. [risposte: a) 12 cm; b) 21 cm; c) 24 cm; d) 48 cm]
Risoluzione: la formula per calcolare l'area del trapezio "A" è la seguente:
A = [(B+b)·h] / 2
dove "B" è la base maggiore, "b" è la base minore e "h" è l'altezza.
Si ricava, quindi, la formula inversa per calcolare la base maggiore incognita "B":
A = [(B+b)·h] / 2
⇓
2·A = B·h + b·h
⇓
B = (2·A - b·h) / h
Inserendo, nella formula appena ricavata, i dati forniti dalla traccia del quesito, si ottiene:
B = [(2·104,5 cm2) - (7 cm)·(11 cm)] / (11 cm)
⇓
B = (132 cm2) / (11 cm)
⇓
B = 12 cm
La risposta corretta è, quindi, la a).
Quiz n. 5
Traccia: Determinare l’equazione della retta passante per il punto (1/3 , 2) e (-2 , –4/5). [risposte: a) x + y - 2 = 0; b) 5x - 3y - 1 = 0; c) 2x - 5y + 1; d) 6x - 5y + 8 = 0]
Risoluzione: in geometria analitica, l'equazione della retta passante per due punti di coordinate (x1, y1) e (x2, y2) si calcola mediante la seguente formula:
Applicando tale formula al caso in esame, ed indicando con x1 = 1/3, y1 = 2, x2 = -2, y2 = -4/5, si ha:
(- 14/5) / (-7/3) = (y - 2) / (x - 1/3)
⇓
(6/5)·(x - 1/3) = y - 2
⇓
⇓
⇓
6x - 5y + 8 = 0
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 6
Traccia: La base di un rettangolo supera di 6 m l'altezza; se il perimetro è pari a 84 m, possiamo dedurre che l'area è: [risposte: a) 418 m2; b) 440 m2; c) 432 m2; d) 454 m2]
Risoluzione: si indicano con "b" ed "h" rispettivamente la base e l'altezza del rettangolo.
In base alle informazioni fornite dalla traccia del quesito, si imposta il seguente sistema lineare di 2 equazioni in 2 incognite:
2) 2·b + 2·h = 84 ("il perimetro è 84 m")
Sostituendo il valore di "b", ricavato dalla relazione 1), nella relazione 2), si ottiene il valore dell'altezza:
⇓
h = 18 m
Tale valore, sostituito nella relazione 1), consente di ricavare il valore della base:
⇓
b = 18 + 6
⇓
b = 24 m
Infine, l'area del rettangolo vale:
↓
A = 24•18
↓
A = 432 m2
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 7
Traccia: Il signor Rossi ha acquistato una casa con giardino: una parte di esso, destinata al box, ha una superficie di 15 m2. Quanto misura la superficie di tutto il giardino sapendo che quella del box corrisponde ai 3/5 dell'intera area? [risposte: a) 25 m2; b) 9 m2; c) 30 m2; d) 5 m2]
Risoluzione: per risolvere il quesito, si può impostare una semplice proporzione che traduce matematicamente la seguente proposizione: "se la superficie destinata al box di 15 m2 corrisponde ai 3/5 dell'area dell'intero giardino, quale superficie corrisponde all'area dell'ntero giardino?":
⇓
x = 25 m2
La risposta corretta è, quindi, la a).
Quiz n. 8
Traccia: Di un rombo si sa che l'area è di 3630 centimetri quadrati e che la diagonale maggiore misura 132 centimetri. Determinare la lunghezza del lato di un secondo rombo, simile al primo, ma con la diagonale minore lunga 30 centimetri. [risposte: a) 65 cm; b) 39 cm; c) 32,5 cm; d) 143 cm]
Risoluzione: si indicano con "A1" e "D1" rispettivamente l'area e la diagonale maggiore del primo rombo.
Dalla formula inversa dell'area del rombo, si può ricavare la diagonale minore "d1" del primo rombo:
⇓
d1 = 2·A1 / D1
⇓
d1 = 2·3.630 / 132
⇓
d1 = 55 m
Tramite il teorema di Pitagora, è poi possibile determinare il lato del primo rombo "l1"; tale lato è, infatti, l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti le semilunghezze delle due diagonali:
⇓
l1 = √[(132/2)2 + (55/2)2]
⇓
l1 = √(4.356 + 756,25)
⇓
l1 = 71,5 m
Successivamente, si calcola il rapporto di similitudine "r" tra i due rombi come rapporto tra la diagonale minore del secondo rombo "d2" e quella del primo rombo "d1":
⇓
r = 0,5454
Infine, tale rapporto di similitudine deve coincidere anche con il rapporto tra i due lati del rombo; pertanto, si può ricavare il lato del secondo rombo "l2":
⇓
l2 = l1 · 0,5454
l2 = 39 cm
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 9
Traccia: L'altezza relativa alla base di un triangolo isoscele divide la base in due parti che sono ciascuna i 2/3 del lato obliquo. Sapendo che il perimetro del triangolo è 150 cm, i lati del triangolo misurano: [risposte: a) 6,25 cm; 56,25 cm; 75 cm; b) 18,75 cm; 37,50 cm; 75 cm; c) 49,5 cm; 49,5 cm; 100 cm; d) 60 cm; 45 cm; 45 cm]
Risoluzione: la risposta corretta è certamente la d), infatti, è l'unica alternativa per la quale, sommando le lunghezze dei tre lati del triangolo, si ottiene un risultato pari al perimetro richiesto di 150 cm:
risposta b): 18,75 + 37,50 + 75 = 131,25 cm
risposta c): 49,5 + 49,5 + 100 = 199 cm
risposta d): 60 + 45 + 45 = 150 cm
Quiz n. 10
Traccia: Dire se è possibile costruire con riga e compasso un triangolo con i lati di: 5 centimetri, 4 centimetri e 17 centimetri. [risposte: a) no, mai; b) solo nella geometria dello spazio e non nella geometria del piano; c) sì, sempre; d) nessuna delle altre tre risposte è giusta]
Risoluzione: in un poligono ogni lato è minore della somma dei rimanenti lati.
Pertanto, per risolvere il quesito, basta considerare il lato più grande e confrontarlo con la somma dei rimanenti lati:
La risposta corretta è, quindi, la a).
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