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In questa pagina si riportano 10 quiz svolti di Matematica (risolti quando possibile con metodi veloci) presenti, negli ultimi anni, nei test di ammissione ufficiali alle Facoltà di Ingegneria in diversi atenei d'Italia.

 

Quiz n. 1

Traccia: La retta passante per il punto (1; 2) e parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante ha equazione: [risposte: a) y = x - 1; b) 2y = x + 3; c) y = 3 - x; d) y = 1 + x; e) y = x - 2]

Risoluzione: la bisettrice del I e del III quadrante ha equazione:

 y = x


La retta incognita, di equazione generale y = mx + q, è parallela alla bisettrice del I e del III quadrante e, quindi, ha coefficiente angolare:

m = 1

y = x + q


Si può intanto escludere la risposta c) che presenta un coefficiente angolare negativo.
Infine, per determinare il parametro incognito q, è necessario imporre la condizione di appartenenza del punto (1;2) alla retta stessa; si sostituiscono, quindi, le sue coordinate nell'equazione della retta:

2 = 1 + q

q = 1


La retta incognita è pertanto la seguente:

 y = x + 1


La risposta corretta è la d).


Quiz n. 2

Traccia: Per quali valori di x è definita la funzione (il log x è in base e) f(x) = log (x^2 + x + 1)? [risposte: a) per ogni x appartenente ai numeri reali; b) per x minore o uguale di 0; c) per nessun valore di x; d) per x maggiore di 0; e) per x compreso tra -1 e 1]

Risoluzione: la funzione logaritmo è definita per tutti i valori di x per i quali il suo argomento è positivo; bisogna quindi porre la seguente condizione di esistenza del logaritmo:

x^2 + x + 1 > 0


Si risolve, pertanto, l'equazione di II grado associata:

x^2 + x + 1 = 0

Δ = b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3


L'equazione, avendo delta negativo, non ammette soluzioni reali.
La disequazione è invece verificata per tutti i valori di x appartenenti ai numeri reali.
La risposta corretta è, quindi, la a).


Quiz n. 3

Traccia: Tra 100 studenti, 70 seguono un corso di fisica e 50 di matematica. Sapendo che tutti gli studenti seguono almeno uno dei due corsi, quanti li seguono entrambi? [risposte: a) più di 50; b) esattamente 50; c) non più di 20; d) da 20 a 50; e) esattamente 20]

Risoluzione: poichè ogni studente segue almeno 1 corso, si può dedurre che:

se 70 studenti seguono il corso di fisica

30 non seguono fisica e quindi frequentano solo il corso di matematica


Inoltre:

se 50 studenti seguono il corso di matematica

50 non seguono matematica e quindi frequentano solo il corso di fisica


Se ne deduce quindi che:

esattamente 20 studenti seguono entrambi i corsi


La risposta corretta è, quindi, la e).


Quiz n. 4

Traccia: Sia k un parametro reale. L'equazione x^2 + (k +2)x + k^2 = 0, nell'incognita x, non ammette soluzioni [risposte: a) per due valori di k; b) per un solo valore di k; c) per infiniti valori di k; d) per ogni valori positivo di k; e) per nessun valore di k]

Risoluzione: un'equazione non ammmette soluzioni quando il delta è negativo:

Δ < 0

b^2 - 4ac < 0

(k+2)^2 - 4•(k^2)•(1) < 0

k^2 + 4k + 4 - 4k^2 < 0

-3k^2 + 4k + 4 < 0


Si risolve quindi l'equazione di II grado associata:

-3k^2 + 4k + 4 = 0

3k^2 - 4k - 4 = 0

Δ = b^2 - 4ac = 16 + 48 = 64

x1/2 = (-b ± √Δ) / 2a = (4 ± 8) / 6

 x1 = -2/3 e x2 = 2


La disequazione di partenza sarà verificata per valori interni ovvero:

-2/3 < x < 2


Tra -2/3 e 2 sono compresi infiniti valori reali di k, quindi la risposta corretta è la c).


Quiz n. 5

Traccia: Quanto vale la somma dei primi cinque termini della progressione geometrica di ragione 4 e il cui primo termine vale 2? [risposte: a) 400; b) 1364; c) 124; d) 312; e) 682]

Risoluzione: la somma dei primi "n" numeri in una progressione geometrica, di ragione q e con primo elemento a1, è data dalla seguente formula:

Sn = a1•[(1-(q^n)/(1-q)]

Sn = 2•[(1-(4^5)/(1-4)]

Sn =  2•341

Sn = 682


La risposta corretta è, quindi, la e).


Quiz n. 6

Traccia: L'equazione x^2 - 6x + 10 = lx^2 - 2l ammette: [risposte: a) nessuna soluzione; b) la sola soluzione x = 2; c) infinite soluzioni; d) le sole due soluzioni x = -2 e x = 2; e) la sola soluzione x = 16/13]

Risoluzione: l'equazione, contenente a secondo membro il valore assoluto, ammette come soluzioni tutte le soluzioni delle due equazioni che si ottengono lasciando inalterati i segni dei termini nel valore assoluto nel primo caso e cambiandoli nel secondo caso.
Prima equazione
:

x^2 - 6x + 10 = x^2 - 2

-6x = -12

x = 2


Seconda  equazione:

x^2 - 6x + 10 = 2 - x^2

x^2 - 3x + 4 = 0

Δ < 0

non ammette soluzioni


La risposta corretta è, quindi, la b).


Quiz n. 7

Traccia: L'espressione [sen(π/12) - cos(π/12)]^2 è anche uguale a: [risposte: a) 1-(√3/2); b) 3/2; c) 1-(√2/2); d) 1/2; e) 1]

Risoluzione: si calcola dapprima il termine sen(π/12):

sen(π/12) = sen[(π/4) - (π/6)] =

= sen(π/4)cos(π/6) - cos(π/4)sen(π/6) =

=  (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) =

= (√6/4) - (√2/4)


Successivamente si ricava il termine cos(π/12):

cos(π/12) = cos[(π/4) - (π/6)] =

= cos(π/4)cos(π/6) + sen(π/4)sen(π/6) = 

= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) =

= (√6/4) + (√2/4)


Sostituendo i valori appena calcolati di sen(π/12) e cos(π/12) nell'espressione fornita dalla traccia del quesito, si ha:

[sen(π/12) - cos(π/12)]^2 =

= [(√6/4) - (√2/4) - (√6/4) - (√2/4)]^2 =

= (√2/2)^2 =

= 1/2


La risposta corretta è, quindi, la d).


Quiz n. 8

Traccia: Una sfera è inscritta in un cubo; il rapporto fra il volume della sfera e quello del cubo è: [risposte: a) π/4; b) π/6; c) 2π/3; d) 4π/3; e) π/2]

Risoluzione: il volume di un cubo vale:

Vcubo = l^3
(dove l è il lato o spigolo del cubo)


Se la sfera è inscritta nel cubo, il suo diametro è pari al lato del cubo.
Il volume della sfera è dato dalla seguente formula:

Vsfera = (4/3)•π•(r^3)

Vsfera = (4/3)•π•[(l/2)^3]

Vsfera = (4/3)•π•(l^3/8)

Vsfera = (1/6)•π•(l^3)


Il rapporto tra volume della sfera e volume del cubo vale quindi:

Vsfera/Vcubo = π/6


La risposta corretta è, quindi, la b).


Quiz n. 9

Traccia: La metà di (1/2)^50 è uguale a: [risposte: a) (1/4)^25; b) (1/2)^51; c) (1/4)^50; d) (1/2)^25; e) (1/2)^49]

Risoluzione: eseguire la metà di (1/2)^50 vuol dire effettuare la seguente operazione:

[(1/2)^50] / 2 =

= [(1/2)^50]•(1/2) =

= (1/2)^51


La risposta corretta è, quindi, la b).


Quiz n. 10

Traccia: Fra tre anni Matteo avrà il doppio dell'età che Sara aveva tre anni fa, mentre ora il quadruplo degli anni di lui è pari al quintuplo degli anni di lei. Quale delle seguenti affermazioni è vera? [risposte: a) per conoscere le età di Sara e di Matteo ci vuole un ulteriore dato; b) si può dedurre che Sara è più vecchia di Matteo; c) fra un anno Sara avrà tanti anni quanti ne aveva Matteo un anno fa; d) si possono dedurre le età di Sara e di Matteo; e) i due hanno la stessa età]

Risoluzione: si "traducono matematicamente" gli enunciati forniti dalla traccia del quesito (indicando con "M" ed "S" le età attuali rispettivamente di Matteo e Sara):
Fra tre anni Matteo (M + 3) avrà (=) il doppio dell'età che Sara aveva tre anni fa [2•(S - 3)].
La prima relazione ricavata è quindi la seguente:

M + 3 = 2•(S - 3)


Ora il quadruplo degli anni di lui (4M) è pari (=) al quintuplo degli anni di lei (5S).
La seconda relazione vale:

4M = 5S


Mettendo a sistema le due relazioni, dalla prima equazione si ricava il valore di "M":

M = 2S - 9


Il valore appena calcolato di "M", sostituito nella seconda equazione, permette di ricavare il valore di "S":

4•(2S - 9) = 5S

3S = 36

S = 12


Sostituendo il valore di "S" nella relazione "M = 2S - 9", si ottiene:

M = 15


La risposta corretta è, quindi, la d).

 

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