In questa pagina si riportano 15 quiz svolti di Matematica (risolti quando possibile con metodi veloci) presenti, negli ultimi anni, nei test di ammissione ufficiali alle Facoltà di Professioni Sanitarie in diversi atenei d'Italia.
Quiz n. 1
Traccia: Quale delle seguenti equazioni rappresenta la retta passante per l'origine degli assi e per il punto (6; 3)? [risposte: a) y = x; b) y = 2x; c) y = (1/2)x; d) y = x-3; e) y = 3x+3]
Risoluzione: in geometria analitica, l'equazione di una retta passante per l'origine degli assi cartesiani è:
dove con "m" si indica il coefficiente angolare della retta; si possono quindi scartare le risposte d) ed e), perchè aventi equazioni esprimibili nella forma y = mx+q
Poichè la retta incognita deve passare anche per il punto (6;3), è possibile ricavare il valore di "m" sostituendo nell'equazione della retta le coordinate del punto stesso (x = 6 e y = 3):
↓
m = 3/6
↓
m = 1/2
L'equazione della retta è quindi:
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 2
Traccia: L'equazione x^2 + 49 = 0 ha soluzioni: [risposte: a) x1 = x2 = 7; b) x1 = 7; x2 = -7; c) non reali; d) reali; e) x1 = x2 = -7]
Risoluzione: si risolve l'equazione di II grado pura:
↓
x^2 = -49
L'equazione non ammette soluzioni reali, perchè il quadrato di un qualsiasi numero reale deve essere necessariamente maggiore o uguale a zero.
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 3
Traccia: Sapendo che l'angolo AOB misura 50°, quanto misura l'angolo ABC? [risposte: a) 50°; b) 25°; c) 90°; d) 155°; e) 65°]
Risoluzione: si nota immediatamente che il triangolo AOB è isoscele, in quanto i lati AO e BO, essendo raggi della stessa circonferenza, sono uguali; ne consegue che anche gli angoli alla base OAB e OBA sono uguali.
Conoscendo quindi l'angolo al vertice AOB (50°) e, sapendo che la somma degli angoli interni in un triangolo è sempre 180°, si può calcolare l'ampiezza di ciascuno dei due angoli alla base:
↓
OAB = OBA = 130°/2
↓
OAB = OBA = 65°
Poichè l'angolo OBA coincide con l'angolo incognito ABC, si deduce che la risposta corretta è la e).
Quiz n. 4
Traccia: In una scatola ci sono dieci palline nere, una pallina rossa e una verde. Qual è la probabilità, pescandone due a caso, che si tratti della pallina rossa e di quella verde? [risposte: a) (1/12)(1/12); b) (1/12)(1/11); c) 2/12; d) (2/12)(1/11); e) 2/10]
Risoluzione: la probabilità che alla prima estrazione si peschi una pallina rossa o verde è 2/12, perchè si hanno una pallina rossa e una verde su un totale di 12 palline.
Alla seconda estrazione la probabilità di pescare la pallina rimasta (rossa o verde che sia) è 1/11, perchè sarà rimasta una sola pallina rossa o verde su un totale di 11 palline (una pallina non va contata perchè pescata nella precedente estrazione).
La probabilità totale è data dal prodotto delle probabilità dei due eventi appena calcolate:
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 5
Traccia: Giovanni e Andrea camminano l'uno verso l'altro, lungo un marciapiede rettilineo, e la loro distanza iniziale è di 600 metri: Giovanni procede a 6 km/h e Andrea a 4 km/h. Quanto distano i due uomini l’uno dall’altro quando mancano 3 minuti al loro incontro? [risposte: a) 50 m; b) 200 m; c) 500 m; d) 150 m; e) 400 m]
Risoluzione: se Giovanni procede a 6 km/h, è possibile conoscere la distanza che egli percorre in 3 minuti tramite la proporzione:
↓
x = (6000•3)/60
↓
x = 300 m
Con una proporzione simile, si va a ricercare la distanza percorsa da Andrea (che procede a 4 km/h) in 3 minuti:
↓
x = (4000•3)/60
↓
x = 200 m
Poichè i ragazzi camminano l'uno verso l'altro, le due distanze appena trovate, vanno sommate:
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 6
Traccia: Le diagonali di un esagono sono: [risposte: a) 12; b) 6; c) 9; d) 3; e) 18]
Risoluzione: il numero di diagonali che si possono tracciare in un poligono di n lati è dato da:
Applicando tale formula al caso in esame, si ha:
↓
d = 9
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 7
Traccia: Se sen(x) = 2/3 e 90° < x < 180°, allora sen(2x) vale: [risposte: a) 4/3; b) -(4√5)/9; c) -(2√5)/9; d) -(2√5)/3; e) -1/9]
Risoluzione: si utilizza innanzitutto la prima relazione fondamentale della trigonometria:
Applicando la relazione precedente, si ricava infatti il cos(x):
↓
cos (x) = √[1 - 4/9]
↓
cos (x) = √(5/9)
↓
cos (x) = -√5/3
(il coseno nel secondo quadrante è negativo)
Successivamente, dalla formula di duplicazione del seno si ha:
↓
sen(2x) = 2•(2/3)•(-√5/3)
↓
sen(2x) = -(4√5)/9
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 8
Traccia: Se il logaritmo in base 9 di x è -3 allora: [risposte: a) x = 1/729; b) x = 729; c) l'equazione non ha senso perchè il valore di un logaritmo non può mai essere negativo; d) x = 1/3; e) l'equazione non ha senso perchè la base è maggiore di 1]
Risoluzione: si "traduce" matematicamente la traccia del quiz:
Per la definizione di logaritmo si ha che la base (9) elevata al logaritmo (-3) deve essere uguale all'argomento del logaritmo (x); si ha quindi:
↓
x = 1/(9^3)
↓
x = 1/729
La risposta corretta è, quindi, la a).
Quiz n. 9
Traccia: Quanti sono i modi distinti di realizzare un poker d’assi (4 assi e 1 carta diversa) scegliendo in un mazzo di 52 carte da gioco? (L’ordine di scelta delle carte non ha importanza) [risposte: a) 52; b) 26; c) 4; d) 13; e) 48]
Risoluzione: in questo caso non è necessario utilizzare formule di calcolo combinatorio: i quattro assi vanno presi sempre tutti.
Le carte rimanenti sono 48 e quindi 48 sono i possibili modi di realizzare un poker d'assi.
La risposta corretta è, quindi, la e).
Quiz n. 10
Traccia: Due sfere hanno raggi di lunghezza l’una tripla dell’altra. Qual è il rapporto tra la misura del volume della sfera di raggio maggiore e quella del volume della sfera di raggio minore? [risposte: a) 2π; b) 27; c) 3π; d) 9; e) π]
Risoluzione: la formula per calcolare il volume di una sfera è la seguente:
Dalla formula sopra indicata, si deduce che il volume di una sfera cresce proporzionalmente al cubo del suo raggio, quindi se il rapporto tra i raggi delle due sfere vale 3, il rapporto tra i rispettivi volumi vale 3^3 = 27.
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 11
Traccia: Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa uguale a 25 cm. I suoi cateti misurano: [risposte: a) 15 cm e 20 cm; b) 7 cm e 20 cm; c) 5 cm e 25 cm; d) 9 cm e 16 cm; e) 14 cm e 15 cm]
Risoluzione: i tre lati di un triangolo rettangolo devono soddisfare il teorema di Pitagora (la somma dei quadrati dei due cateti deve essere uguale al quadrato dell'ipotenusa):
Secondo la formula sopra indicata, le misure dei 3 lati del triangolo devono costituire una terna pitagorica.
La risposta corretta è perciò la a), infatti si ha:
Quiz n. 12
Traccia: La somma 2,1·10^4 + 3,5·10^3 dà come risultato: [risposte: a) 5,6·10^7; b) 2,45·10^7; c) 5,6·10^4; d) 24,5·10^3; e) 5,6·10^12]
Risoluzione: il primo addendo della somma può essere riscritto nel seguente modo:
E' ora possibile effettuare la somma dei numeri (indicati nella traccia con la notazione esponenziale) raccogliendo a fattor comune:
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 13
Traccia: Dalle prime 10 rilevazioni è risultato che il peso delle studentesse di una scuola è in media pari a 60 kg. Le successive 15 rilevazioni danno un peso medio pari a 55 kg. Qual è il peso medio delle 25 studentesse? [risposte: a) 58 kg; b) 57,5 kg; c) 57 kg; d) 56 kg; e) 55 kg]
Risoluzione: è possibile risolvere il quiz applicando la formula della media aritmetica ponderata; indicando con "x" i valori (nel caso in esame i pesi medi) e con "f" le frequenze (nel caso in esame il numero di rilevazioni), si ha:
↓
M = (60•10 + 55•15) / (10 + 15)
↓
M = 1425 / 25
↓
M = 57 kg
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 14
Traccia: Siano a un numero reale maggiore di 1 e b un numero reale positivo minore di 1; allora il prodotto ab è: [risposte: a) non ci sono dati sufficienti per rispondere; b) minore di a e maggiore di b; c) maggiore di a e minore di b; d) maggiore di a e di b; e) minore di a e di b]
Risoluzione: poichè l'enunciato indicato nella traccia deve essere sempre vero, si considerino 2 numeri reali con le caratteristiche richieste, ad esempio a = 2 e b = 1/2.
In questo caso il loro prodotto vale: ab = 2•(1/2) = 1.
Il prodotto ab è minore di a e maggiore di b.
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 15
Traccia: Le soluzioni della disequazione x^2 – 3x > 4 sono: [risposte: a) x < –1, x > 4; b) x < 0, x > 3; c) nessuna delle altre risposte è corretta; d) x < –3; e) nessuna soluzione]
Risoluzione: portando a primo membro tutti i termini della disequazione di II grado assegnata, si ha:
Successivamente si risolve l'equazione di II grado associata:
↓
Δ = b^2 - 4ac = 3^2 - 4•1•(-4) = 9 + 16 = 25
↓
x1/2 = (-b ± √Δ) / 2a = (3 ± 5) / 2
↓
x1 = -1 e x2 = 4
Quando il segno del coefficiente del termine di secondo grado in "x" è concorde con il verso della disequazione (entrambi maggiori di zero) le soluzioni corrispondono ai valori esterni:
La risposta corretta è, quindi, la a).
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