In questa pagina si riportano 10 quiz svolti di Matematica (risolti quando possibile con metodi veloci) presenti, negli ultimi anni, nei test di ammissione ufficiali alla Facoltà di Medicina e Chirurgia.

 

Quiz n. 1 (anno accademico 2018/2019)

Traccia: Un triangolo rettangolo ha i cateti che misurano 10 m e 24 m. Qual è la misura della mediana relativa all’ipotenusa?  [risposte: a) 12 m; b) 15 m; c) 16 m; d) 13 m; e) 26 m]

Risoluzione: in un triangolo rettangolo la mediana (segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto) relativa all'ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.
Utilizzando il teorema di Pitagora, si calcola l'ipotenusa del triangolo rettangolo:

i = √[(10^2) + (24^2)]

i = √(100 + 576)

i = √676 = 26 m


Si ricava quindi il valore della mediana relativa all'ipotenusa:

mediana = i/2 = 26/2 = 13 m


La risposta corretta è, quindi, la d).


Quiz
n. 2 (anno accademico 2018/2019)

Traccia: Se a = ln(4), b = ln(1/16), c = ln(8), qual è il valore dell'espressione (a-c)/b?  [risposte: a) 1/4; b) -1/2; c) 1; d) -1/4; e) 1/2]

Risoluzione: il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto tra l'esponente della potenza e il logaritmo della base della potenza; si ha infatti:

loga(bx) = x•loga(b)


Applicando tale formula ai dati forniti dalla traccia del quiz, si ottiene:

a = ln(4) = ln(22) = 2•ln(2)

b = ln(1/16) = ln(2-4) = -4•ln(2)

c = ln(8) = ln(23) = 3•ln(2)


Si calcola quindi l'espressione (a-c)/b:

(a - c) / b = [2•ln(2) - 3•ln(2)] / [-4•ln(2)]

  (a - c) / b = [-ln(2)] / [-4•ln(2)]

  (a - c) / b = 1/4


La risposta corretta è, quindi, la a).

 

Quiz n. 3 (anno accademico 2017/2018)

Traccia: L'equazione esponenziale 5^(2x + 1) – 1/5 = 0 ammette come soluzione:  [risposte: a) x = -2; b) x = -1; c) x = 1/4; d) x = 0; e) x = -1/2]

Risoluzione: si risolve l'equazione esponenziale proposta utilizzando opportunamente le proprietà delle potenze:

5^(2x+1) - 1/5 = 0

5^(2x+1) = 1/5

5^(2x) • 5^(1) = 1/5

5^(2x) = 1/25

5^(2x) = 5^(-2)

2x = -2

x = -1


La risposta corretta è, quindi, la b).


Quiz n. 4 (anno accademico 2017/2018)

Traccia: L'equazione di secondo grado kx^2 – 3kx + (k+1) = 0, con k diverso da 0, ha una soluzione uguale a –1 per:  [risposte: a) k = -1/5; b) k = -1; c) k = 1; d) k = 3; e) nessun valore di k]

Risoluzione: si risolve l'equazione parametrica di II grado sostituendo nella traccia del quesito al posto della "x" la soluzione assegnata "-1"; tramite una semplice equazione di I grado si ricava, quindi, il valore incognito del parametro "k":

k(-1)^2 – 3k•(-1) + (k+1) = 0

k + 3k + k + 1 = 0

5k = -1

k = -1/5


La risposta corretta è, quindi, la a).


Quiz n. 5 (anno accademico 2016/2017)


Traccia: Siano dati due triangoli rettangoli simili. Se il primo ha cateti di lunghezza 3 e 4 cm, e il secondo ha area pari al quadruplo dell'area del primo, qual è la lunghezza dell'ipotenusa del secondo triangolo?  [risposte: a) 10 cm; b) 5 cm; c) 20 cm; d) 16 cm; e) 12 cm]

Risoluzione: le aree di due poligoni simili stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi. Indicando con "A1" ed "i1" l'area e l'ipotenusa del primo triangolo e con "A2" ed "i2" l'area e l'ipotenusa del secondo triangolo, si può quindi scrivere la seguente relazione:

A1 / A2 = (i1 / i2)^2


Poichè l'area del secondo triangolo è il quadruplo dell'area del primo, si ha:

A2 = 4•A1


Si può inoltre ricavare il valore dell'ipotenusa del primo triangolo tramite il teorema di Pitagora:

i1 = √[(3^2) + (4^2)]

i1 = √(9 + 16)

i1 = √25 = 5 cm


Sostituendo i valori ottenuti di "A2" e "i1" nella prima relazione, si ottiene il valore dell'ipotenusa del secondo triangolo:

A1 / A2 = (i1 / i2)^2

A1 / (4•A1) = (5 / i2)^2

1/4 = 25 / (i2)^2

(i2)^2 = 100

i2 = 10 cm


La risposta corretta è, quindi, la a).


Quiz n. 6 (anno accademico 2016/2017)


Traccia: La retta passante per il punto (1, –1) e ortogonale alla retta di equazione 2x + y + 6 = 0 ha equazione: [risposte: a) y + 2x - 1 = 0; b) 2y - x - 3 = 0; c) 2y - x + 3 = 0; d) y - 2x + 1 = 0; e) x + y - 3 = 0]

Risoluzione: si scrive dapprima il fascio di rette proprio di centro (1; -1):

y + 1 = m•(x - 1)


Il coefficiente angolare incognito "m" deve essere l'antireciproco del coefficiente angolare della retta di equazione 2x + y + 6 = 0; infatti per due rette perpendicolari, di coefficienti angolari rispettivamente m ed m', vale la seguente relazione:

m = - (1/m')


Il coefficiente angolare della retta 2x + y + 6 = 0 vale:

m' = - a/b

m' = - (2/1) = -2


Si può quindi calcolare il coefficiente angolare "m":

m = - (1/m')

m = - [1/(-2)] = 1/2


Sostituendo il valore di "m" ottenuto nel fascio proprio si ottiene l'equazione della retta incognita:

y + 1 = m•(x - 1)

y + 1 = (1/2)•(x - 1)

2y + 2 = x - 1

2y - x + 3 = 0


La risposta corretta è, quindi, la c).


Quiz n. 7 (anno accademico 2015/2016)


Traccia: Un gruppo di 10 ciclisti è composto da 6 uomini e 4 donne. I 10 ciclisti pesano in media 74 kg. Il peso medio dei 6 uomini è 82 kg. Quanto pesano in media le 4 donne? [risposte: a) 63 kg; b) 64,5 kg; c) 62 kg; d) 66 kg; e) 72 kg]

Risoluzione: per risolvere il quesito si può applicare la formula della media aritmetica ponderata.
Si indica con "Pm" il peso medio dei 10 ciclisti, con "Pu" il peso medio dei soli uomini e con "Pd" il peso medio incognito delle sole donne.
Quindi, indicando con "u" il numero degli uomini e con "d" il numero delle donne, si ha:

Pm = [(Puu) + (Pdd)] / (u+d)


Sostituendo i dati forniti dalla traccia si ottiene:

74 = [(74•6) + (Pd•4)] / (6+4)

740 = 492 + 4• Pd

Pd = 248/4 = 62 kg


La risposta corretta è, quindi, la c).


Quiz n. 8 (anno accademico 2015/2016)

Traccia: La probabilità con cui un paziente deve attendere meno di dieci minuti il proprio turno in un ambulatorio medico è 0,8. Qual è la probabilità che una paziente che si reca due volte presso l’ambulatorio medico attenda, almeno una delle due volte, meno di dieci minuti prima di essere ricevuta dal medico? [risposte: a) 0,96; b) 0,25; c) 0,64; d) 0,04; e) 0,8]

Risoluzione: nel calcolo della probabilità richiesto si possono avere 4 possibili combinazioni di eventi.
Si indica con "a" l'evento "attendo meno di dieci minuti" e con "b" l'evento "attendo più di dieci minuti".
Recandosi 2 volte in laboratorio i casi possibili sono 4, schematizzabili con le lettere nel seguente modo: 1) a-a; 2) a-b; 3) b-a; 4) b-b.
Indicando la probabilità che si attenda meno di 10 minuti con P(a) = 0,8 e quella che si attenda più di 10 minuti con P(b) = 0,2, le probabilità correlate ai 4 casi sopra elencati sono le seguenti:

P1 = 0,80,8 = 0,64

P2 = 0,8•0,2 = 0,16

P3 = 0,2•0,8 = 0,16

P4 = 0,2•0,2 = 0,04


La probabilità che almeno una delle due volte l'attesa duri meno di 10 minuti è pari alla somma delle probabilità che avvengano i primi 3 casi possibili (in cui è presente almeno una volta l'evento "a"). Si ha quindi:

Ptot = P1 + P2 + P3

Ptot = 0,64 + 0,16 + 0,16 = 0,96


La risposta corretta è, quindi, la a).


Quiz n. 9 (anno accademico 2014/2015)


Traccia: Calcolare il valore della seguente frazione: [(127)^2 - (73)^2] / 2 [risposte: a) 1458; b) 10800; c) 20000; d) 5400; e) 10000]

Risoluzione: il numeratore della frazione è una differenza di quadrati e, come tale, può trasformarsi nel prodotto somma per differenza:

(127)^2 - (73)^2 =

= (127+73)•(127-73) =

= 200•54 = 10800


Tale numeratore va ovviamente dimezzato:

10800/2 = 5400


La risposta corretta è, quindi, la d).


Quiz n. 10 (anno accademico 2014/2015)

Traccia: Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con l’ipotenusa di lunghezza h cm e area di S cm quadrati. Quale tra le seguenti esprime la corretta relazione tra h ed S? [risposte: a) h = (2√2)•S; b) h = 2√S; c) h = √S/2; d) h = √(2S); e) h = √(S/2)]

Risoluzione: un triangolo rettangolo isoscele ha i due cateti uguali e un angolo retto, quindi è equivalente alla metà di un quadrato, di cui l'ipotenusa ne costituisce la diagonale.
Indicando con "l" i cateti e con "i" l'ipotenusa del triangolo si hanno quindi le 2 relazioni:

1) h = l√2

2) S = (l^2)/2


l = √(2S)


Andando a sostituire il valore di "l" ottenuto dalla seconda relazione nella prima si ha:

h = √(2S)•√2

h = 2√S


La risposta corretta è, quindi, la b).


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