In questa pagina si riportano 5 esercizi svolti di Statistica utili per prepararsi all'esame di Statistica - I anno corso di laurea facoltà di Medicina e Chirurgia - Università San Raffaele.
Esercizio n. 1 (indice chi quadrato)
Traccia:
Nel corso di una ricerca vengono intervistati ragazzi e ragazze a cui viene richiesto il tipo di sport praticato. In base ai dati raccolti (vedi tabella), calcolare l'indice chi quadrato per verificare se il tipo di sport è associato o meno al sesso dei ragazzi.
Risoluzione:
Si completa dapprima la tabella delle frequenze assolute osservate fornita dalla traccia del quesito riportando i totali di riga e di colonna:
Svolgendo i calcoli, i valori delle frequenze assolute attese sono i seguenti:
Facendo riferimento alle tabelle delle frequenze assolute osservate e delle frequenze assolute attese, la formula per calcolare l'indice chi quadrato è la seguente:
Applicando la formula precedente al caso in esame, si ottiene il valore dell'indice chi quadrato:
Poichè il valore dell'indice chi quadrato non è prossimo allo zero, le due variabili "tipo di sport" e "sesso dei ragazzi" sono sicuramente associate.
Esercizio n. 2 (test diagnostico)
Traccia:
Viene condotto uno studio per valutare un nuovo test per diagnosticare il tumore al cervello. Per lo studio vengono reclutati 1.000 individui, di cui 450 malati e 550 sani. I risultati dello studio sono riportati nella tabella di seguito:
Calcolare sensibilità e specificità del test diagnostico.
Risoluzione:
Data una tabella di contingenza 2x2 relativa ad un test diagnostico, si possono identificare le seguenti quantità:
- veri positivi (VP): numero di individui malati e positivi al test;
- falsi positivi (FP): numero di individui sani (non malati) e positivi al test;
- veri negativi (VN): numero di individui sani (non malati e negativi al test;
- falsi negativi (FN): numero di individui malati e negativi al test.
Nel caso in esame, alle quantità sopra indicate, si possono associare i seguenti valori:
VP = 425;
FP = 12;
FN = 25;
VN = 538.
La sensibilità di un test diagnostico può essere calcolata mediante la seguente formula:
Applicando la formula precedente al caso in esame, si ottiene il valore della sensibilità:
La specificità di un test diagnostico indica, invece, la probabilità che una persona sana (non malata) riceva un risultato negativo al test e può essere calcolata mediante la seguente formula:
Applicando la formula precedente al caso in esame, si ottiene il valore della specificità:
Entrambi i valori di sensibilità e specificità sono prossimi all'unità (in termini percentuali, probabilità del 94% e del 98% rispettivamente). Si deduce che il test diagnostico risulta essere molto accurato.
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Esercizio n. 3 (covarianza e coefficiente di correlazione lineare)
Traccia:
Nella tabella seguente vengono raccolti i dati dell'età (variabile X) e dei valori di colesterolo nel sangue (variabile Y) di 8 individui:
Calcolare la covarianza e il coefficiente di correlazione lineare tra le 2 variabili.
Risoluzione:
La covarianza (SXY) misura come due variabili quantitative X e Y si discostano dai loro valori medi. E' quindi un indicatore sintetico sulla variazione contemporanea dei valori di due variabili quantitative.
La formula per calcolare la covarianza è la seguente:
In alternativa può essere utilizzata un'altra formula, sicuramente più "pratica":
La covarianza misura il segno della relazione lineare tra le due variabili:
- SXY > 0 ⇒ X e Y sono direttamente correlate, pertanto al crescere di X, cresce anche Y;
- SXY = 0 ⇒ X e Y non sono lineramente correlate;
- SXY < 0 ⇒ X e Y sono inversamente correlate, pertanto al crescere di X, Y decresce.
Volendo usare la formula "pratica", si procede al calcolo delle singole quantità necessarie al calcolo della covarianza:
Si riesce quindi a determinare il valore della covarianza relativa alle due variabili X (età) e Y (valore colesterolo):
Poichè il valore della covarianza è positivo, le due variabili sono direttamente correlate, cioè al crescere dell'età crescono anche i valori del colesterolo nel sangue.
Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson (ρXY) non solo fornisce un'indicazione sulla direzione della relazione lineare (diretta o inversa) tra due variabili quantitative X e Y (come la covarianza), ma indica anche quanto è forte la relazione lineare (se esiste) fra X e Y.
La formula per calcolare il coefficiente di correlazione lineare di Pearson è la seguente:
dove Sx e Sy indicano i valori delle deviazioni standard delle variabili X e Y.
Il coefficiente di correlazione lineare ρXY è sempre compreso tra -1 e 1 e, in base ai suoi valori, possono essere fatte le seguenti considerazioni:
- ρXY > 0 ⇒ X e Y sono direttamente correlate, pertanto al crescere di X, cresce anche Y; quanto più ρXY è vicino a 1, tanto più è forte la relazione lineare positiva.
- ρXY = 0 ⇒ X e Y non sono lineramente correlate;
- ρXY < 0 ⇒ X e Y sono inversamente correlate, pertanto al crescere di X, Y decresce; quanto più ρXY è vicino a -1, tanto più è forte la relazione lineare negativa.
Si procede al calcolo delle deviazioni standard delle variabili X e Y:
Si riesce quindi a determinare il valore del coefficiente di correlazione lineare ρxy:
Poichè il valore del coefficiente di correlazione lineare è positivo, le due variabili sono direttamente correlate, cioè al crescere dell'età crescono anche i valori del colesterolo nel sangue. Inoltre, essendo il valore di ρxy molto vicino a 1, la relazione lineare positiva è molto forte.
Esercizio n. 4 (distribuzione di Poisson)
Traccia:
Un negozio di forniture sanitarie vende mediamente 5 aspiratori chirurgici a settimana.
(a) Qual è la probabilità che ne venda almeno 2 a settimana?
(b) Ipotizzando che i giorni lavorativi a settimana siano 6, qual è la probabilità che il negozio in un determinato giorno venda esattamente 2 aspiratori chirurgici?
Risoluzione:
Nel caso in esame, per calcolare le probabilità richieste si può fare riferimento alla distribuzione di Poisson.
La distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità discreta che si applica quando si vuole conoscere la probabilità che un evento si verifichi "x" volte in un determinato intervallo continuo di spazio o di tempo, sapendo che mediamente esso si verifica "λ" volte.
La formula per calcolare la probabilità è la seguente:
dove:
- x = numero di eventi per intervallo di spazio o tempo di cui si vuole conoscere la probabilità;
- λ = numero medio di eventi nell'intervallo di spazio o di tempo considerato;
- e = numero di Nepero = 2,7182...
Per calcolare la probabilità che il negozio di forniture sanitarie venda 2 o più aspiratori chirurgici, si deve fare riferimento alle tavole statistiche di Poisson.
Tali tavole riportano la funzione di ripartizione (o funzione cumulativa) di una variabile aleatoria X che esprime (in funzione del parametro λ sopra definito) la probabilità che la variabile X assuma valori minori o uguale ad un generico valore x0:
Tenendo conto della regola per calcolare la probabilità del complementare di un evento, la probabilità che il negozio di forniture sanitarie venda 2 o più aspiratori chirurgici si può ricavare nel seguente modo:
Dalle tavole di Poisson sotto riportate si ottiene, quindi, il risultato finale richiesto dal punto (a):
Pertanto, un negozio di forniture sanitarie, che vende mediamente 5 aspiratori chirurgici a settimana, ha la probabilità del 95,96% di venderne almeno 2 in una settimana.
Si vuole ora calcolare la probabilità che il negozio di forniture sanitarie in un determinato giorno venda esattamente 2 aspiratori chirurgici, tenendo presente che vengono venduti mediamente 5 aspiratori chirurgici a settimana e che i giorni lavorativi a settimana siano 6.
Riprendendo la formula per calcolare la probabilità in una distribuzione di Poisson:
dove nel caso in esame:
- x = numero di aspiratori chirurgici venduti in un giorno;
- λ = numero medio di aspiratori chirurgici venduti in un giorno = 5/6;
- e = numero di Nepero = 2,7182...
Calcolando la probabilità richiesta si ha:
Si deduce quindi che il negozio di forniture sanitarie, che mediamente vende 5 aspiratori chirurgici a settimana e lavora 6 giorni a settimana, ha la probabilità del 15.09% di vendere esattamente 2 aspiratori chirurgici in un determinato giorno.
Esercizio n. 5 (distribuzione Normale)
Traccia:
All'esame di Fisica i voti conseguiti dagli studenti iscritti al I anno della facoltà di Medicina e Chirurgia hanno media 26 e varianza 4. Supponendo che i voti (variabile X) abbiano distribuzione normale, determinare:
(a) il valore della variabile standardizzata (Z-score) per il voto 24;
(b) la probabilità che il voto assegnato dalla commissione d'esame sia almeno 24.
Risoluzione:
La distribuzione normale standard (generalmente indicata con Z) è una distribuzione normale (indicata invece con la N) con media 0 e varianza 1:
Si consideri una variabile aleatoria normale X con media "μ" e varianza "σ2":
E' possibile trasformare la variabile X nella variabile Z sottraendo a X la sua media (μ) e dividendo per la sua deviazione standard (σ):
Nel caso in esame si ha:
Pertanto, il valore della variabile standardizzata (Z-score) per il voto 24 è -1.
Relativamente al caso studiato, la distribuzione normale e la distribuzione normale standard possono essere così rappresentate:
Passando al punto (b), il quesito richiede di calcolare la probabilità che il voto assegnato dalla commissione sia almeno 24, ossia P(X>=24). Dall'immagine sottostante si può notare come il valore della probabilità richiesta (area colorata in giallo sottesa al grafico della funzione cumulativa) sia la stessa e sia cambiata solo la scala di rappresentazione:
Pertanto, potendo formulare il problema utilizzando in maniera equivalente o le unità originali (X) o le unità standardizzate (Z), per calcolare la probabilità richiesta è sufficiente fare riferimento alle sole tavole statistiche della distribuzione normale standard:
In definitiva si ha che:
La probabilità che uno studente all'esame di Fisica ottenga un voto uguale o maggiore a 24 è dell'84,13%.
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