Quiz svolti Matematica
Si riportano di seguito 15 quiz svolti di Matematica simili a quelli proposti dai Simulatori on-line relativi ai concorsi per l'Accademia Marina Militare degli ultimi anni.
Quiz n. 1
Traccia:
Per quali valori del parametro reale k l’equazione x2 + (k-1)x + 1 = 0 ammette due soluzioni reali e coincidenti?
a) per k = 0 o k = 3
b) per k = -1 o k = 3
c) per k = -1
d) per k ≠ -1
e) nessuna delle altre risposte è corretta
Risoluzione:
Un'equazione di II grado [ax2 + bx + c = 0] ammette due soluzioni reali e coincidenti quando il discriminante [Δ = b2 - 4ac] è uguale a zero.
Imponendo tale condizione all'equazione x2 + (k-1)x + 1 = 0, si ottiene:
(k-1)2 - 4•1•1 = 0
⇓
k2 - 2k + 1 - 4 = 0
⇓
k2 - 2k - 3 = 0
⇓
Δ = 4 + 12 = 16
⇓
k = -1 o k = 3
La risposta corretta è, quindi, la b).
Quiz n. 2
Traccia:
Siano a, b, c numeri naturali diversi da zero. Se c è un terzo di b e a è il sestuplo di b, qual è il quoziente tra a e il triplo di c?
a) 1/3
b) 3
c) 6
d) 9
e) 1/6
Risoluzione:
I dati forniti dal quesito sono i seguenti: c = (1/3)•b e a = 6•b.
Si può, pertanto, determinare il quoziente tra a e il triplo di c:
= (6•b) / [3•(1/3)•b] =
= 6b / b =
= 6
La risposta corretta è, quindi, la c).
Quiz n. 3
Traccia:
Quale fra le seguenti equazioni rappresenta una retta parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante e passante per il punto P(-2;11)?
a) y = -x+13
b) y = x+9
c) y = -x+9
d) y = x+13
e) y = x-6
Risoluzione:
La bisettrice del II e IV quadrante ha equazione y = -x.
Poichè la retta che si ricerca è parallela alla bisettrice, deve avere lo stesso coefficiente angolare, ossia "-1"; la retta può essere scritta, quindi, nella seguente forma esplicita:
y = -x+q
Per sapere quale, tra le risposte a) e c), sia quella corretta, basta sostituire le coordinate del punto P nelle 2 equazioni e verificare a quale delle due rette esso appartenga.
Sostituendo x = -2 e y = 11 nella retta y = -x+13, si ha: 11 = 2 + 13, relazione non vera.
Invece, sostituendo gli stessi valori nell'equazione y = -x+9, si ottiene: 11 = 2 + 9, uguaglianza certamente corretta.
Quiz n. 4
Traccia:
Trovare l'area del triangolo compreso tra la retta di equazione y = 4 – 3x e gli assi cartesiani.
a) 8/3
b) 4/3
c) 9/16
d) 7/9
e) 15/3
Risoluzione:
Si ricercano dapprima le intersezioni della retta con gli assi cartesiani: per x = 0, si ha y = 4; per y = 0, si ha x = 4/3.
Il triangolo compreso tra la retta e gli assi cartesiani ha come vertici: O(0;0), A(4/3;0) e B(0;4).
L'area del triangolo è data dal semiprodotto della base (ascissa del punto A) per l'altezza (ordinata del punto B):
= [(4/3)•4] / 2 =
= (16/3) / 2 =
= 8/3
La risposta corretta è, quindi, la a).
Quiz n. 5
Traccia:
Il peso medio di 25 studentesse di una scuola è 57 kg. Se dalle prime 10 rilevazioni è risultato che il peso delle studentesse è in media pari a 60 kg, qual è il peso medio delle rimanenti 15 studentesse?
a) 58 kg
b) 57,5 kg
c) 57 kg
d) 56 kg
e) 55 kg
Risoluzione:
E' possibile applicare la formula della media aritmetica ponderata (M), indicando con "x" i valori (nel caso in esame i pesi medi) e con "f" le frequenze (nel caso in esame il numero di rilevazioni):
⇓
57 = (60•10 + x•15) / (10 + 15)
⇓
1425 = 600 + 15x
⇓
825 = 15x
⇓
x = 55 kg
La risposta corretta è quindi la e).
Quiz n. 6
Traccia:
Se cos(x) = -4/5 e 90° < x < 180°, allora sen(2x) vale:
a) -24/25
b) -3/5
c) +3/5
d) 9/25
e) +24/25
Risoluzione:
La formula di duplicazione del seno è la seguente: sen(2x) = 2•sen(x)•cos(x).
Cos(x) è noto, mentre sen(x) si può ricavare dalla prima relazione fondamentale della gonometria: sen2(x) + cos2(x) = 1.
Pertanto, si ottiene:
= √[1 - (-4/5)2] =
= √(1 - 16/25) =
= √(9/25) =
= 3/5
Applicando la formula di duplicazione del seno, si ha:
= 2•(3/5)•(-4/5) =
= -24/25
La risposta corretta è, quindi, la a).
Quiz n. 7
Traccia:
In base alla periodicità della funzione trigonometrica seno, si può affermare che il sen(1485°) è uguale:
a) al seno di 65°
b) al seno di 90°
c) al seno di 30°
d) al seno di 45°
e) nessuna delle altre risposte è quella corretta
Risoluzione:
Il seno è una funzione goniometrica che ha periodo 2π, ossia 360°.
L'angolo di 1485°, ridotto al primo quadrante, corrisponde al resto della divisione tra la misura in gradi di tale angolo e 360°:
1485° : 360° = 4, con resto di 45°
Si conclude, pertanto, che:
sen(1485°) = sen(45°)
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 8
Traccia:
Semplificare la seguente frazione algebrica: [9a2 – 6ab + b2] / [3ab - 3a – b2 + b]
a) (3a - b) / (b + 1)
b) (3a + b) / (b + 1)
c) (3a - b) / b
d) (3a - b) / (b - 1)
e) (b - 3a) / (b - 1)
Risoluzione:
Si semplifica la frazione algebrica fornita dal quiz, notando che al numeratore compare lo sviluppo di un quadrato di binomio, mentre al denominatore si può applicare il raccoglimento a fattor comune parziale:
= [(3a - b)2] / [3a•(b - 1) - b•(b - 1)] =
= [(3a - b)2] / [(3a - b)•(b - 1)] =
= (3a - b) / (b - 1)
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 9
Traccia:
I due angoli di un quadrilatero inscritto in una circonferenza misurano 40° e 115°; allora gli altri due angoli del quadrilatero misurano:
a) 50° e 65°; b) i dati sono insufficienti per arrivare alla soluzione; c) 140° e 65°; d) 75° e 130°; e) 100° e 25°]
Risoluzione:
In un quadrilatero inscritto in una circonferenza, gli angoli opposti sono supplementari.
Poichè la somma degli angoli forniti dalla traccia del quesito non è pari a 180°, se ne deduce che essi sono due angoli adiacenti ad uno stesso lato.
Si ricercano, quindi, i due angoli supplementari rispettivamente di 40° e di 115°:
180° - 115° = 65°
La risposta corretta è, pertanto, la c).
Quiz n. 10
Traccia:
L'equazione 4 - ex+1 = 2
a) ha infinite soluzioni
b) ha una soluzione diversa da x = log(2)
c) non ha soluzioni
d) ha come unica soluzione x = log(2)
e) ha come unica soluzione x = log(4)
Risoluzione:
Si risolve l'equazione esponenziale:
⇓
4 - 2 = ex+1
⇓
2 = ex+1
⇓
log(2) = x + 1
⇓
x = log(2) - 1
La risposta corretta è, quindi, la b): ha una soluzione diversa da x = log(2).
Quiz n. 11
Traccia:
Se un mattone pesa un chilogrammo più tre quarti di mattone, quanto pesa un mattone?
a) 5,5 kg
b) 1,5 kg
c) 4 kg
d) 2 kg
e) 3 kg
Risoluzione:
Il quiz può essere risolto impostando un'equazione di I grado.
Si indica con "x" il peso incognito del mattone e si "traduce" la traccia mediante simboli matematici: un mattone (x) pesa (=) un chilogrammo (1) più (+) tre quarti di mattone [(3/4)•x].
L'equazione risolutiva è quindi la seguente:
⇓
4x = 4 + 3x
⇓
x = 4 kg
La risposta corretta è, pertanto, la c).
Quiz n. 12
Traccia:
Calcolare i valori di x per: 2x2 + 2x - 4 = 0.
a) 2; -3
b) 1; -2
c) 0; -3
d) 0; 3
e) 3; 2
Risoluzione:
E' possibile risolvere il quiz senza svolgere interamente l'equazione.
Infatti, data un'equazione di II grado posta nella sua forma canonica [ax2 + bx + c = 0], le radici dell'equazione sono legate ai coefficienti a, b e c da due relazioni fondamentali: la somma delle radici (x1 + x2) è uguale a -(b/a), mentre il loro prodotto (x1 • x2) è pari a c/a.
Nel caso in esame la somma delle due radici è:
-(b/a) = -(2/2) = -1
Tra le 5 alternative di risposta, le uniche in cui le radici danno per somma "-1" sono le risposte a) e b); infatti, si ha:
2-3 = -1 e 1-2 = -1
Invece, applicando la relazione sul prodotto delle radici, si ha:
c/a = (-4)/2 = -2
Questa condizione è verificata solo dalla risposta b) che è, quindi, la risposta corretta; infatti, si ha:
1•(-2) = -2
Quiz n. 13
Traccia:
Per quali valori di x esiste il logaritmo in base 3 di (3x - 5/2)?
a) qualunque valore di x
b) x < -5/2
c) nessun valore di x
d) x > 5/6
e) x > 15/2
Risoluzione:
La funzione logaritmo esiste per tutti i valori di x per i quali il suo argomento è positivo.
Pertanto, si deve risolvere la seguente disequazione di I grado:
⇓
3x > 5/2
⇓
x > 5/6
La risposta corretta è, quindi, la d).
Quiz n. 14
Traccia:
Quanto vale il settimo elemento di una progressione aritmetica se il primo elemento è 3 e la ragione è 2?
a) 11
b) 17
c) 13
d) 9
e) 15
Risoluzione:
In una progressione aritmetica la formula che esprime l'ennesimo termine è la seguente:
an = a1 + (n-1)•d
dove "a1" è il primo elemento della progressione e "d" è la ragione.
Applicando tale formula al calcolo del settimo elemento della progressione data, si ottiene:
⇓
a7 = 3 + 12
⇓
a7 = 15
La risposta corretta è, quindi, la e).
Quiz n. 15
Traccia:
Il numero di cifre del numero 58 • 210 è:
a) 18
b) 12
c) 9
d) 16
e) 8
Risoluzione: applicando le proprietà delle potenze, si riscrive il numero dato in una forma che permetta di contare in modo più semplice il numero di cifre di cui esso è composto:
⇓
= 58 • 28 • 22 =
⇓
= 108 • 22
Il numero 108 è composto da 9 cifre: la cifra "1" più 8 zeri (100.000.000).
22 = 4, composto da 1 cifra (moltiplicato per 108, non altera il numero complessivo di cifre).
La risposta corretta è, quindi, la c): il numero è composto da 9 cifre e vale 400.000.000 (400 milioni).
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